COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK

 fonksiyonunun türevi olup,
türevin x=0 daki değeri  olur.

x²-xy+2y²+x-1=0 fonksiyonunun türevi şu şekilde bulunur:

f(x)=sin⁡x fonksiyonunun sırasıyla ilk dört türevi şu şekildedir:
f'(x)=cos⁡x
f''(x)=-sin ⁡x
f'''(x) =-cos⁡x
f'v (x)=sin⁡x
Görülüyor ki sin⁡x fonksiyonunun dördüncü türevi fonksiyonun kendisine eşittir, o halde 4 ve katları mertebeden türevlerde fonksiyonun kendisi yani sin⁡x elde edileceği için  f⁽⁴⁰⁾ (x)=sin⁡x olur.

y'=4x³-36x=4x(x²-9)
Kritik noktalar x=0, x=3 ve x=-3 dür. İkinci türev testi uygulanırsa
y''=12x²-36=12(x²-3)
y'' (0)=-36<0 ve y'' (3)=y'' (-3)=72>0 olduğundan x=0 yerel maksimum nokta olup burada ki yerel maksimum değeri y=-5 olur.

u=2x^2+1 dönüşümü yapılırsa du=4xdx ve xdx= du olmak üzere;
 olur.

2+x-x²=0 denkleminin kökleri x=-1 ve x=2 olup, bölgenin alanı:

x²=3-2x eşitliğinden x=-3 ve x=1 olup, [-3,1] aralığında 3-2x>x² dir. Aranılan bölgenin alanı:
 olur.

 belirsizliği olup L’Hospital kuralı uygulanırsa:

Kısmi integrasyon kuralı uygulanırsa
u=x,dv=e^3x dx⇒du=dx ve v= olup, 

f ‘(x)= 3 x (3x²)-2 x (2x) = 9x² – 4x olur. Böylece f ‘(2)= 9 x (2)² – 4 x 2 = 36 – 8 = 28 elde edilir.

f '(x) = 5 x (4x³) + 3 x (3x²) – 2 = 20x³ + 9x² – 2 olur.

f ‘ (x) = (5 x² e^3x) = (5x²)’e^3x + 5x² (e^3x)’ = 10 x e^3x + 15 x² e^3x elde edilir.

f '' (x)= (cos (5x))''= (-5 sin (5x))' = -25 cos (5x) elde edilir.

y = x^x olduğundan In (y) = x In (x) olur. Her iki tarafında x’e göre türevini alırsak (y' / y) = In (x) + 1 olur. Böylece y' = x^x (In (x) +1) elde edilir.

Teğet denklemi y – y₀ = m (x – x₀) olduğundan m yani eğimi hesaplayalım. m = f ^' (x₀) = f '(2) = 2x₀ = 4 olur. Böylece teğet denklemi y – 3 = 4 (x – 2) yani y = 4x – 5 elde edilir.

f '(x) = 6x – 6’dır. 6x – 6 = 0 iken x = 1  olur. Böylece f '(x) fonksiyonu (-∞ , 1) aralığında negatif ve (1 , ∞) aralığında ise pozitif olduğundan f (x) fonksiyonu (1 , ∞) aralığında artandır.

Bir fonksiyonun dışbükey olması için fonksiyonun ikinci türevi sıfırdan büyük olmalıdır. Dolayısıyla f ''(x)= (x⁴ + 10x²)'' = 12x² + 20 > 0 olduğundan f (x) = x⁴ + 10x² fonksiyonu dışbükeydir.

Dikdörtgenin kenar uzunlukları x cm ve y cm olsun. O halde 2(x + y) = 20 olduğundan x + y = 10 ve y = 10  – x elde edilir. x ∙ y’nin maksimum olmasını istiyoruz. Yani f (x) = x (10 – x)’in maksimum olmasını istiyoruz. f ' (x) = –2x + 10 = 0 olduğundan x = 5 elde edilir. böylece y = 5’dir. O halde alan en fazla f (5) = 5 ∙ (10 – 5) = 25 elde edilir.

∫ (x² – 2x – 3) dx = (x^{2 + 1} / 2+1) – 2(x^{1 + 1} / 1+1) – 3x + C = (1/3)x³ – x² -3x + C elde edilir.