MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 24

Fonksiyonun artarken azalmaya döndüğü veya azalırken artmaya döndüğü noktalarda fonksiyonun türevi sıfırdır. Bu noktalarda fonksiyona teğet olan doğrunun eğimi sıfırdır, yani yatay eksene paraleldir.

Eğimi sürekli artan yani ikinci türevi daima pozitif olan fonksiyonlar dışbükey fonksiyonlar olarak adlandırılır. Bu fonksiyonların yerel minimum  noktaları mevcuttur.

TC=ACxQ

TC=4Q²+8Q+40

MC=dTC/dQ

MC=8Q+8 olur         Q=10 için MC=8(10)+8=88

Bir faktörden daha fazla kullanıldığında, artırılan miktarı ile üretim miktarını sabit tutmak için diğer faktörden azaltılması gereken miktar arasındaki orana Marjinal teknik ikame oranı denir ve MRTS olarak gösterilir.

MRTS=-MP_L/MP_K

MP_L=8L          MP_K=2K

MRTS=8L/2K

MRTS=4L/K

MPC+MPS=1 olur

Bu nedenle MPC=0,75 olarak verildiğinden

MPS=1-0,75=0,25 olur.

Dengede arz edilen miktar talep edilen miktara eşittir. Yani Qd=Qs koşulu sağlanmalıdır. Buna göre

-20+3P=220-5P olur

8P=240

P=30

Dengede arz edilen miktar talep edilen miktara eşittir. Yani Qs=Qd koşulu sağlanmalıdır.

-45+8P=125-2P

10P=170

P=17  denge fiyatıdır. Bulunan denge fiyatı arz veya talep eşitliğinde yerine koyularak denge miktarı bulunabilir. Her ikisinin de aynı sonucu vermesi gerekir.

Arz eşitliğini kullanırsak: Q=-45+8*(17) = -45+136        Q=91

Talep eşitliğini kullanırsak:  Q=125-2*(17)=125-34        Q=91

Denge miktarı 91'dir.

Fiyatlar (P1,P2)=(5,10) 

Miktarlar (Q1,Q2)=(300,100) olarak verilmiştir.

Doğru denklemini belirlemek için nokta nokta formülünü kullanabiliriz.

doğrunun eğimi a=y2-y1/x2-x1 formülü ile bulunur

Talep eşitliğine uyarlarsak eğim a=Q2-Q1/P2-P1 formülü ile bulunabilir.

a=100-300/10-5 buradan a=-200/5  a=-40 bulunur. Talep eşitliğinin eğimi -40'tır.

Doğru denklemini belirlemek için de nokta eğim formülünü kullanabiliriz.

y-y1=a(x-x1)

Q-Q1=a(P-P1)

Q-300=-40(P-5)

Q-300=-40P+200

Q=-40P+500 bulunur.

Ters talep fonksiyonu P=a-bQd

Ters arz fonksiyonu P=c+dQs

Dengede talep edilen miktar arz edilen miktara eşittir. Qd=Qs=Q

a-bQ=c+dQ

a-c=(b+d)Q

Q=a-c/b+d olur.

Talebin fiyat esneklği fiyattaki değişimlere talebin ne kadar duyarlı olduğunu ölçer. Esneklik her zaman % ile ifade edilir. Talebin fiyat esnekliği Talep edilen miktardaki % değişim / fiyattaki % değişim formülü ile hesaplanır.

Doğrusal bir talep eğrisi boyunca esneklik sıfır ile sonsuz arasında değerler alır. Doğrunun tam orta noktasında esneklik değeri bire eşittir. Orta noktanın üstünde esneklik birden büyük, altında ise birden küçüktür. Doğrunun yatay ekseni kestiği noktada ise esneklik değeri sıfırdır.

P=aQ+b şeklindeki doğrusal bir talep fonksiyonunda esnekliğin bir olması durumunda fiyat P=b/2 dir.

Talep fonksiyonumuz Q=220-5P şeklindeydi.

5P=220-Q

P=44-1/5 Q Olur.

Burada a=-1/5   b=44 dür.

Esnekliğin 1 olması durumunda fiyat P=b/2 olacağından P=44/2=22 olur.

Talep fonksiyonu Q=30-6P

Ters talep fonksiyonu 6P=30-Q

P=5-1/6Q

Sabit maliyet 20 ve üretilen birim başına değişken maliyet 3 ise Toplam maliyet fonksiyonu

TC=20+3Q olur.

Kar fonksiyonu toplam gelirden toplam maliyetlerin çıkartılması ile bulunur.

Toplam Gelir TR=P*Q

TR=(5-1/6Q)*Q     TR=5Q-1/6Q² dir.

Kar=TR-TC

Kar=(5Q-1/6Q²)-(20+3Q)

Kar=-1/6Q²+2Q-20

Bir malın arz eşitliği P=2Q²+10Q+10 ve talep eşitliği P=-Q²-5Q+52 olarak verilmiştir. Denge miktarı olan 2 arz veya talep eşitliğinde yerine koyularak denge fiyatına ulaşılır.

Arz eşitliğini kullanırsak P=2(4)+10(2)+10=38 bulunur.

Talep eşitliğini kullanırsak P=-4-5(2)+52=38 bulunur.

Sabit maliyet 1000 değişken maliyet birim başına 8 ise toplam maliyet fonksiyonu

TC=1000+8Q olur.

Ortalama Maliyet (AC) fonksiyonu AC=TC/Q dur.

Buradan AC=1000/Q+8 olur.

Bu soruyu çözebilmek için nokta-nokta formülü kullanılır. Buna göre ilgili malın fiyat ve talep edilen miktarları (P1, Q1)=(15,150) ve (P2, Q2)=(20,120) iken öncelikle doğrunun eğimi hesaplanır. Doğrunun eğimi 

şeklinde hesaplanır. Bulunan değer nokta-nokta formülünde yerine konursa, doğrusal talep fonksiyonu aşağıdaki şekilde hesaplanır.

Talep fonksiyonu  şeklinde verildiğine göre talebin fiyat esnekliği aşağıdaki şekilde formüle edilir:

Satış fiyatı P=20 TL iken talep edilen miktar

Q=45/2

şeklinde hesaplanır. Buna göre talebin fiyat esnekliği

(1/-4)(20/22.5)=-0.22

şeklinde hesaplanır.

X malına ilişkin talep fonksiyonu  ve arz fonksiyonu  şeklinde verilmiştir. Denge fiyatını ve denge miktarını bulabilmek için aşağıdaki adımlar izlenir:

şeklinde hesaplanır. Denge miktarını bulabilmek için P=29 değeri, talep ya da arz fonksiyonunda yerine konur.

olur. Sonuç olarak denge fiyatı ve denge miktarı 

olur.

Kar fonksiyonu  şeklinde verilen firmanın karını maksimum yapan üretim düzeyini bulabilmek için tepe noktası formülü kullanılır ve aşağıdaki şekilde hesaplanır.