MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 6

log x < 0 için x < 10⁰ şeklinde yazılabilir, buradan da x < 1 sonucu bulunur. log x ifadesinin tanımlı olabilmesi için x’in pozitif yani sıfırdan büyük olması gerekir. Sonuç 0 < x < 1 şeklinde çıkar.

2⁶=64 ve log10=1 ise 64*1 = 64 sonucunu buluruz.

Talep fonksiyonu Q_d = 250P^-4 için eşitliğin her iki tarafının doğal logaritması alındığında, logaritma kuralları gereği, lnQ_d = ln250 - 4lnP denklemi elde edilir. Bu denklem üstel yapıda olan bir talep fonksiyonudur. Talep fonksiyonunun fiyata göre türevini alırsak talebin fiyat esnekliğini elde ederiz. d(lnQ_d)/d(lnP) = -4 sonucu elde edilir.

Talep fonksiyonunun çapraz fiyat esnekliğini bulmak için çapraz kısmi türev kurallarıyla çapraz fiyat formülü kullanılacaktır.  formülünün yerine yazdığımızda ∂Q_d/∂p^*=4 ise 4p*/ Q_d sonucunu elde ederiz.

Toplam hasılayı bulmak için talep miktarı ile fiyatı birbiri ile çarpmak gerekir yani TR=P*Q_d şeklinde bulunur. TR=P*(160 - P⁴) buradan da TR=160P - P⁵ eşitliğini elde ederiz. Toplam hasıla fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için Toplam hasıla fonksiyonunun P’ye göre türevini alırız. TR΄=1600 – 5P⁴ ve bunu sıfıra eşitleyip çözeriz. 0=160 – 5P⁴ ise 5P⁴=160 buradan P=2 sonucunu buluruz.

I. ln (y) fonksiyonu yalnızca y < 0 olduğu yerlerde tanımlıdır. (Bu tanım yanlıştır. ln (y) fonksiyonu yalnızca y > 0 olduğu yerlerde tanımlıdır.) II. ln(y) fonksiyonu sürekli artan ve konkav bir fonksiyondur. (Bu tanım doğrudur.) III. ln(e) = 0 (Bu tanım yanlıştır. ln(1)=0) IV. Doğal tabanlı üstel fonksiyon tanımlı olduğu her yerde sürekli konveksdir. (Bu tanım doğrudur.) V. Doğal logaritmik fonksiyon sürekli konkavdır. (Bu tanım doğrudur.)

İlk önce verilenleri yazalım: r=0.04, P₀=5000, n=1. Bu sayıları formülde yerine yazarsak P₁=5000*[1+(0.04/1)]¹ eşitliğini buluruz. Bu eşitliği çözecek olursak P₁=5200 sonucunu buluruz. İlk baştaki anaparamız 5000 olduğuna göre sene sonunda bankanın faizi ile sene sonundaki paramız 200 artmış olur.

Burada Üstel fonksiyonlarda taban pozitif olduğu sürece fonksiyon her zaman konvkav değil konveksdir. Doğal tabanlı üstel fonksiyon sürekli konveks iken, doğal logaritmik fonksiyonu sürekli konkavdır. Logaritmik  fonksiyonun tanım kümesi yalnızca  pozitif sayılardan oluşur.

A bankası için efektif yıllık faiz ödemesi:

Bu soruyu 70 kuralına göre çözüyoruz. 70 kuralı bize anaparanın ikiye katlanması için gerekli süreyi 70’I faiz oranına bölerek bulmamız gerektiğini söyler. Bu durumda; 70/5=14

Belirli miktar büyüklüğe yılda belirli aralıklarla faiz oranı uygulandığında kullanılan formül şu şekildedir:
 Biz burada Pt’yi biliyoruz. Po’ı hesaplayacağız. Banka bize yıllık vade uygulayacağına göre paramıza her yıl yalnızca 1 kez faiz uygulanacaktır. Bu durumda n = 1 olacaktır. Bu verileri formülde yerine yazalım:
 Po=15056  lira   yatırmak gerekir.

Öncelikle p=15 için arz miktarının ne kadar olduğunu hesaplayalım.
Q(15) = 3.15³ - 750 = 9375 Arzın fiyat esnekli formülümüz şu şekilde idi:

 P ve Q’yu bulduk. Öyleyse arz fonksiyonunun fiyata göre birinci türevini hesaplamamız gerekiyor.
 Şimdi hesapladıklarımızı arzın fiyat esnekliği formülünde yerlerine yazalım:
 =3,24 İktisadi olarak arzın fiyata göre esnek olduğunu söyleyebiliriz. Fiyattaki %1’lik artışa arz miktarı %3,24 artışla cevap vermektedir.

P’yi denklemde çektiğimizde  TR=P.Q olduğundan 

Kısmi türev kurallarıyla talebin fiyat esnekliği:

Kısmi türev kurallarıyla çapraz fiyat formülünü kullanacağız:

Talebin gelir esnekliğini hesaplamak için kısmi türev formülümüzü uyguluyoruz.

P0 > 0 (anapara) kadar para vadeli mevduat hesabına yatırılmıştır ve bu hesap r kadar sabit nominal yıllık faiz oranı önermektedir. Faiz ödemeleri yıl içerisinde düzenli aralıklarla n defa yapılmaktadır. Bir yıl sonunda anaparanın yeni durumunu gösteren hesap şöyle olur.

a. e⁰ = 1 b. e¹ = e c. e^x > 0 d.  olmak üzere e tabanlı üstel fonksiyonların özellikleri sayılabilir.

Doğal logaritmik fonksiyon en temel şekliyle x = ln(y) şeklinde gösterilebilir.