MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 7

Bir kümenin elemanları, başka bir kümenin elamanları ile ilişki içerisinde olabilir. Bu ilişkinin bazı kurallar çerçevesinde oluşturulan özel bir biçimine de fonksiyon adı verilir. Bir kümenin her elamanı diğer kümenin tek bir elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir.

Boştan farklı A ve B kümeleri verilsin. A kümesinden B kümesine tanımlanan bir F bağıntısı aşağıdaki koşulları sağlarsa F bağıntısına A’dan B’ye bir fonksiyondur denir:

I. f bağıntısı altında A’nın her elemanı B’nin en az bir elemanı ile eşlenmelidir.
II. f bağıntısı altında A’nın her elemanı B’nin birden fazla elemanı ile eşlenmemelidir.

III. F bağıntısı altında A’nın her elemanı B’nin birden fazla elemanı ile eşlenebilir ifadesi ise verilen F bağıntısının fonksiyon olma şartını sağlamamaktadır. Bu nedenle Doğru Cevap C seçeneğidir.

İçsel değişken; Değeri model tarafından belirlenen değişkendir.

y=ƒ(x) fonksiyonunun

kapalı aralığında ortalama değişim oranı

eşitliği ile hesaplanmaktadır. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneği olur.

Doğrusal fonksiyonlarla iktisatta çok sık karşılaşırız. y =ƒ(x)=ax+b biçimindeki bir fonksiyon doğrusal fonksiyon olarak tanımlanır.

Keynesyen makroekonomik teoride, mal ve hizmetlere yapılan toplam tüketim harcamaları (C ), harcanabilir gelirin (Yd) bir fonksiyonudur.

I. A x B kümesinin her alt kümesine A kümesinden B kümesine bir bağıntı denir. (Bu tanım doğrudur.) 
II. Bir kümenin her elamanı diğer kümenin birden fazla elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir. (Bu tanım yanlıştır. Bir kümenin her elamanı diğer kümenin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir.)
III. a, A kümesinin bir elemanı ve b, B kümesinin bir elemanı olmak üzere bunlardan oluşturulan (a,b) çiftine bir sıralı ikili denir. (Bu tanım doğrudur.)

IV. Küme birtakım nesnelerden oluşan bir topluluktur. (Bu tanım doğrudur).  Buna göre I, III ve IV indisleri doğru olup Doğru Cevap E seçeneğidir.

A)Değer kümesi, kuralın uygulandığı tüm girdi sayılarının kümesidir. (Bu seçenek yanlıştır. Değer kümesi, tüm çıktı sayılarının kümesidir.) B) Tanım kümesi, tüm çıktı sayılarının kümesidir. (Bu seçenek yanlıştır. Tanım kümesi, kuralın uygulandığı tüm girdi sayılarının kümesidir.) C) Küme birtakım nesnelerden oluşan bir topluluktur. (Bu seçenek doğrudur.) D) Dışsal değişken, değeri model tarafından belirlenen değişkendir. Bu seçenek yanlıştır. Dışsal değişken, değere modelin dışında belirlenen değişkendir.) E) İçsel değişken, değere modelin dışında belirlenen değişkendir.(Bu seçenek yanlıştır. İçsel değişken, değeri model tarafından belirlenen değişkendir.)

Bir fonksiyonun eğimi artış ya da azalışını anlamak için önemlidir. Eğiminin pozitif yani sıfırdan büyük olduğu durumda fonksiyon artış göstermektedir. Bu bir değerin kendinden önceki değerden daha fazla olduğu anlamına gelir. Eğimi pozitif olan bir doğru sağa yukarı yöne meyilli olur ve eğiminin değeri arttıkça doğru da dikleşir. Eğiminin negatif yani sıfırdan küçük olduğu durumda fonksiyon azalış göstermektedir. Bu yüzden bir değeri kendinden önceki değerinden daha az olduğu anlamına gelir. Eğimi negatif olan bir doğru sağa aşağı yöne meyilli olur. Eğimin sıfır olması durumunda ise tüm değerler sabittir ve x eksenine paralel olur. Bu bilgilere göre seçenekler incelendiğinde B seçeneğindeki I. eğimin pozitif yani 5, II. eğimin negatif yani (-3) ve III. eğimin 0 olduğu söylenebilir. Bu nedenle Doğru Cevap B seçeneği olur.

İki noktası verilen bir doğrunun eğimini bulmak için  

formülü kullanılır. Burada y₂ = 5, y₁ = 3 ve x₂ = 4, x₁ = 0 olarak verilmiştir.

olarak eğimi bulunur. Buna göre Doğru Cevap D seçeneği olur.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun fonksiyonu

eşitliği yardmıyla bulunur. Soruda doğrunun eğimi m=2/3 ve  y₁=8, x₁=3 olarak verilmiştir. İlgili değerler verilen eşitlikte yerine konulduğunda doğru denklemi

olarak elde edilir. Dolayısıyla Doğru Cevap C seçeneğidir.

Fonksiyonun ax²+bx+c şeklinde yazacak olursak a = 2, b = 3, c = -5’e eşittir olacaktır. a = 2 ifadesi pozitif yani sıfırdan büyüktür; bu fonksiyonun yukarı doğru açıldığı anlamına gelir. x’e 0 değerini verirsek y eksenini kestiği noktayı buluruz bu da c’e eşittir. c = -5 olduğuna göre y ekseninin kestiği nokta {0, -5}’dir. b²-4ac ifadesini yerine yazarsak 3²-[4*2*(-5)]=49 sonucunu buluruz. Sonuç pozitif olduğu için bu fonksiyonun iki çözümü vardır.  formüllerinden fonksiyonun çözüm kümesinin {x₁, x₂} =   {-5,1/2}olduğunu buluruz.

-2x²+3x+5 fonksiyonu karesel bir terim olan x²’yi içinde barındırdığı için karesel bir fonksiyondur ve karesel fonksiyonlara genel olarak parabol de denilir. Karesel terimin baş katsayısı -2’ye eşittir ve bu değer negatif bir ifade olduğu için bu fonksiyon aşağı doğru açılır. b²-4ac ifadesini yerine yazarsak bu fonksiyon için 3²-[4*(-2)*5]=49 sonucunu buluruz. Bulduğumuz sonuç pozitif olduğundan bu fonksiyonun iki çözümü vardır. Yani çözümü yoktur indisi yanlıştır. Dolayısıyla Doğru Cevap C seçeneğidir.

ax²+bx+c şeklinde bir parabolün tepe noktası  yardımıyla bulunur. Hasıla fonksiyonu ise talep fonksiyonu ile miktarın çarpımı ile elde edileceğinden yani TR=P.Q olacağından hasıla fonksiyonu TR=5Q²+30Q  olarak bulunur. Buna göre hasıla fonksiyonu bir parabol belirtmektedir. Elde edilen hasıla fonksiyonu için a = 5, b = 30 ve c = 0 olduğu görülmektedir.

olarak bulunur. -3 değeri hasıla fonksiyonunda yerine yazıldığında ise

Buna göre hasıla fonksiyonunun tepe noktası (-3, -45) olarak bulunur. Doğru Cevap B seçeneğidir.

Denge miktarını bulmak için arz ve talebin birbirine eşit olduğunu noktayı bulmak gerekir. Bunun için arz fonksiyonu ile talep fonksiyonu birbirine eşitlenir. Verilen iki denklemin ortak çözümünden;

10Q²-15=2Q²+4Q-3

8Q²-4Q-12=0

denklemi elde edilir. Denklemi 4 ile sadeleştirirsek 2Q²-Q-3=0 sonucuna ulaşılır. Denklemde a=2, b=-1, c=-3 olduğundan formülleri kullanılarak denklemin köklerinin {-1, 3/2} olduğu anlaşılır. Denklemin köklerini çarpanlara ayırarak da bulabiliriz. Köklere bakıldığında miktar negatif bir değere sahip olamayacağı için bu çözüm olarak kabul edilemez ve 3/2 yani 1.5 değerini kök olarak kabul ederiz. Buna göre buğday üreten bu firmanın denge noktasındaki buğday miktarı 1.5 kilogram olup Doğru Cevap B seçeneğidir.

Kâr fonksiyonu, toplam hâsıla fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunun çıkarılmasıyla elde edilir. Toplam hasıla fonksiyonu ise talep fonksiyonu ile miktarın çarpılması sonucu bulunur. Buna göre Toplam hasıla fonksiyonu TR=(4Q-22)Q = 4Q²-22Q'dir. Kâr fonksiyonu

π=TR-TC = 4Q²-22Q – (12-8Q) olarak yazıldığında π=4Q² - 14Q – 12 olarak elde edilir. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneği olur.

e tabanlı üstel fonksiyonların özeliklerini incelediğimizde e⁰ = 1 ve e¹=e olduğunu görürüz. Aynı zamanda tüm x değerleri için e^x sıfırdan büyüktür yani pozitiftir ve e^x grafiği konvekstir.

I. Doğal tabanlı üstel fonksiyon sürekli konveks bir fonksiyondur.(Bu tanım doğrudur.)
II. Doğal logaritmik fonksiyonu sürekli konkav bir fonksiyondur. (Bu tanım doğrudur.)
III. Doğal tabanlı fonksiyonu gibi logaritmik fonksiyon da sürekli azalan bir fonksiyondur. (Bu tanım yanlıştır. Doğal tabanlı fonksiyonu gibi logaritmik fonksiyon da sürekli artan bir fonksiyondur.)

Sonucu bir tabanda toplamak için üslerinin aynı olması gerekir. Bu yüzden 2⁴ ifadesini 4² şeklinde yazabiliriz. 3²*4²=(3*4)²=12² sonucunu buluruz. Buradan x’in 12 ve a’nın 2 olduğu görülür.