Temel Olasılık Kavramları ve Dağılımları

Olasılık değerleri, daima 0 ile 1 arasında bir değer alır. Olasılık değerinin 0 olması olayın gerçekleşme şansının bulunmadığını, 1 olması ise olayın kesinlikle gerçekleşeceğini
göstermektedir. 0 ile 1 arasındaki olasılık değerleri, olayın gerçekleşme şansının derecesini temsil eder.

Tek bir zar atılması deneyinde olası sonuçlar 1,2,3,4,5,6 değerleridir. 

 “Tek bir bozuk para atılması” deneyini ele alalım. Bu deneyin olası sonuçları (örneklem uzayı noktaları); “yazı” ya da “tura” olacaktır. Bu durumda örneklem
uzayının gösterimi aşağıdaki gibi yapılabilir: S = {Yazı, Tura} Tanımlanan bu deney iki olası sonuçlu (örneklem uzayı noktalı) bir deneydir.

Çok-adımlı deneyler için geliştirilen saymanın temel ilkesi yardımıyla herhangi bir listeleme yapmaya gerek kalmadan deneylerin olası sonuç sayısı belirlenebilir. Bu ilkeye
göre; eğer bir deney, birinci adımında n1 olası sonuç, ikinci adımında n2 olası sonuç, k-inci adımında nk olası sonuç bulunan k adımlı bir deney olarak tanımlanabiliyorsa bu deney için toplam olası sonuç sayısı (n1 ) (n2)... (nk) olarak verilir.

Saymanın temel ilkesine göre bu deney için toplam olası sonuç sayısı: (2)(3)(4) (5) = 120 olur.

6! / (2!(6-2)!) = 15 olur. 

Görüldüğü gibi permütasyon ile kombinasyon birbirleriyle yakından ilişkilidir. Burada, seçilecek nesne sayısı aynı olmasına rağmen yapılabilecek permütasyon sayısı kombinasyon sayısından daha fazladır. Çünkü n sayıda nesnenin her seçimi n! farklı şekilde sıralanabilmektedir. Permütasyonda, sıralanan nesnelerin diziliş sırası önemlidir.

Kullanılan yöntem hangisi olursa olsun, olasılık hesaplamalarında aşağıda belirtilen iki temel kuralın sağlanması zorunludur.
1. Olası her bir deney sonucunun gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 (0 ve 1 değerleri dahil) değerleri arasında yer almalıdır. 
2. Olası tüm deney sonuçlarının gerçekleşme olasılıklarının toplamı 1’e eşit olmalıdır. 

Olasılık hesaplamada klasik yöntem, deneyin olası tüm sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu durumlarda geçerli bir yöntemdir. Buna göre, bir deneyde olası sonuç sayısı n ise,
her bir olası sonucun gerçekleşme olasılığı 1/n oranı ile belirlenir. Bu yaklaşım kullanılırken, yukarıda belirtilen olasılık hesaplamalarında sağlanması gereken iki temel kural
kendiliğinden sağlanır.

Olasılık hesaplamada kullanılan ikinci yöntem olan göreli frekans yöntemi, deney çok fazla sayıda tekrar ediliyorsa, eldeki verilerin olası sonucun gerçekleşme oranını tahmin
etmeye elverişli olduğu durumlarda kullanılan bir yöntemdir. Olasılık hesaplama yöntemleri arasında deneysel bir yaklaşım olarak kabul gören göreli frekans yöntemine göre
bir olayın gerçekleşme olasılığı, bu olayın uzun dönemde gerçekleşme oranına eşittir.

Olasılık hesaplamada kullanılabilecek üçüncü yöntem olan öznel ya da subjektif yöntem, olası sonuçların eşit olasılıklı olarak varsayılamadığı ve elde çok fazla veri bulunmadığı durumlarda başvurulan bir yöntemdir.

Bir deneyin tekrarlanmasının güç olduğu durumlarda olasılık hesaplamak üzere öznel yöntem kullanılır. Olası sonuçların olasılıklarının belirlenmesinde öznel yöntem kullanıldığında, genellikle duruma ilişkin kişisel sezgiler ya da önceki tecrübeler gibi eldeki herhangi bir bilgiye başvurulabilir.

Öznel ya da sübjektif olasılık, bir olayın gerçekleşip gerçekleşmemesine ilişkin olarak bir kimsenin yürüttüğü tahminin derecesini belirtir. Bu yöntemde belirlenen olasılık kişiye göre değiştiği için, farklı kişiler aynı olası sonuca ilişkin olarak farklı olasılıklar belirleyebilirler. Öznel yöntemde olasılığın iki temel kuralı olarak verilen koşulların sağlanması için daha çok dikkat edilmesi gerekir.

Örneklem uzayı noktaları ve olaylar, olasılık incelemesi için temel oluşturmaktadır. Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesini oluşturan elemanlarla herhangi bir olay belirlenebilir. Bu alt küme, örneklem uzayında bulunan ve olayın gerçekleştiği tüm elemanları içerir. Buna göre, örneklem uzayı noktalarının bir topluluğuna olay adı verilir. Dolayısıyla tanımlanan herhangi bir olay, örneklem uzayının bir alt kümesi olacaktır. Tekrarlanabilen deneylerin her bir sonucu birer olay olarak tanımlanır.

Verilen bir A olayının tümleyeni, örneklem uzayında A olayının dışında kalan tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olay olarak tanımlanır ve A' olayının tümleyeni ile gösterilir.

Örneklem uzayında yer alan herhangi iki olayın ortak örneklem uzayı noktası bulunmuyor ise bu olaylara ayrık olaylar adı verilir.

“|” gösterimi, herhangi bir olayının gerçekleşme koşulu altında bir diğer olayın koşullu olasılığını belirtmede kullanılır.

Örneklem uzayında yer alan A ve B gibi herhangi iki olay için bu olaylardan herhangi birinin gerçekleştiğinin bilinmesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyor ise bu
iki olaya bağımsız olaylar adı verilir.

Zaman, ağırlık, uzaklık ya da hava sıcaklığı gibi ölçülere dayalı deneysel sonuçlar belli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabileceği için sürekli rassal değişkenlerdir.

Bir rassal değişkenin kesikli mi yoksa sürekli mi olduğunun belirlenebilmesi için, bu rassal değişkenin değerleri bir doğru parçası üzerindeki noktalar olarak düşünülebilir. Rassal
değişkenin alabileceği değerler arasından rastgele iki nokta seçilir. Bu iki nokta arasındaki doğru parçası rassal değişkenin alabileceği tüm değerleri içeriyorsa, incelenen rassal değişken sürekli rassal değişkendir.

Rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarının tanımlanmasının en önemli getirisi, olasılık dağılımı bilindiğinde karar vericilerin ilgilendiği farklı olay çeşitlerine ilişkin olasılıkların belirlenmesi nispeten kolaylaşmaktadır.

Ortalama, olasılık dağılımlarının merkezi eğilimini gösteren tipik bir değerdir ve bir olasılık dağılımının ortalamasına, o olasılık dağılımının beklenen değeri adı verilir. Beklenen değer, bir rassal değişkenin aldığı değerlerin, bu rassal değişkenlere ilişkin olasılıklarla ağırlıklandırıldığı bir ağırlıklı ortalamadır.

Varyansın pozitif karekökü standart sapma olarak adlandırılır ve σ ile gösterilir. Bilindiği gibi standart sapmanın ölçüldüğü birim, rassal değişkenin ölçüldüğü birimin aynısıdır.
Bu nedenle de rassal değişkenlerin değişkenlik ölçüsü olarak çoğunlukla standart sapma tercih edilir.

Binom deneyi aşağıda verilen özellikleri göstermektedir:
1. Deneyler, daima aynı koşullarda gerçekleştirilen n sayıda tekrardan oluşur.
2. Yapılacak her denemenin sonunda, olası iki sonuçtan yalnızca biri gerçekleşir. Bu
sonuçlardan birisi ilgilenilen sonuç, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen sonuç olarak adlandırılır.
3. P ile gösterilen ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı, tüm denemelerde aynı
kalır. Dolayısıyla 1-P ile gösterilen ilgilenilmeyen sonucun gerçekleşme olasılığı da
denemeden denemeye değişmeyen sabit bir değerdir.
4. Denemeler birbirinden bağımsızdır. Bir diğer deyişle, bir denemenin sonucu diğer
bir denemenin sonucunu olumlu ya da olumsuz bir şekilde etkilememektedir.

Normal dağılımın çeşitli özellikleri aşağıdaki gibi verilebilir:

• Normal dağılımda, ilki aritmetik ortalama μ ve ikincisi standart sapma σ olmak üzere iki adet bilinmeyen parametre bulunur.
• Normal dağılımın aritmetik ortalama, mod ve medyan değeri, dağılım eğrisinin en yüksek noktasına karşılık gelen rassal değişken değerleridir.
• Dağılımın aritmetik ortalaması, negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir.
• Normal dağılım eğrisi, aritmetik ortalama, mod ve medyan değerlerine göre simetrik bir görünümdedir. Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru
• düzgün bir şekilde azalır. Eğrinin kuyrukları yatay eksene gittikçe yaklaşır, ancak
  teorik olarak hiçbir zaman yatay eksenle kesişmez. Eğri simetrik olduğundan, dağılımın çarpıklık ölçüsü sıfıra eşittir.