YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II - Deneme Sınavı - 3

Kendisi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani

p_ij = 1 , p_ij = 0 , j ≠ i) yutucu durumlar adı verilir.

Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.

Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.

Bir zincirde bütün durumlar yinelenen, dönemsel olmayan ve birbiriyle iletişimli ise bu zincir ergodiktir.

Yinelenen durum dönemsel değilse o, dönemsel olmayan durumdur.

Denge pazar paylarını hesaplarken, zamandan tasarruf yapmak istendiğinde denge denklem takımını, aşağıda verildiği gibi determinant yöntemiyle de çözebiliriz.

Önce iki durumlu Markov zinciri olarak geçiş olasılığı matrisi yazılır. Daha sonra bu matrisin karesi alınıp ilgili elemanın değeri belirlenir (Matris notasyonunu kullanamadığım için bkz. s 118 Çözüm 5.8 1).

Önce gradient vektörünü bulalım. (8x1 +x2 , 10x2+x1 )
Bu durumda Hessian Matrisinin
ilk satırı 8x1 +x2 fonksiyonunun sırasıyla önce x1 ‘e göre türevinden (8) ve sonra x2’ ye göre türevinden (1)oluşur.
İkincisatırı ise 10x2+x1 fonksiyonunun sırasıyla önce x1 ‘e göre türevinden (1 ) ve sonra x2’ ye göre türevinden (10)oluşur. Matrisimiz ise [■(8&1@1&10)] şeklinde olur.

Fonksiyonun birinci türevi = 0

f1(x) = 6x2 - 24 6x2 – 24=0 ise x1= -2 ve x2=2 olur.

f11(x) = 12x

f11(2) = 12(-2) = -24 ≠ 0 , n=2 , -24 < 0 olduğu için -2 noktasında en büyük vardır.

f11(-2) = 12(2) = 24 ≠ 0 , n=2 , 24 > 0 olduğu için 2 noktasında en küçük vardır.

( X1,x2) = (-2,2)

Bu kritere göre karar verirken, pişmanlık kriterinde olduğu gibi ilk önce pişmanlık tablosu oluşturulur. Sonra da her doğa durumu olasılıkları ile her karar seçeneğine ilişkin fırsat kayıpları çarpılır ve toplanarak seçeneklerin beklenen fırsat kayıp değerleri hesaplanır. Karar verici ise bu beklenen fırsat kayıplarından en küçüğünü seçer. İşte böyle bir işleme beklenen fırsat kaybı kriteri denir.

Karar vericinin her bir seçeneğin uygun getiri ile sonuçlanacağını kabul ettiği ve bu seçeneklerden en uygun getirili olanını seçtiği işleme "İyimserlik kriteri" adı verilir

Karar problemlerinde, belirsizliklere dayanan olaylara ilişkin karar alma ile sıkça yüz yüze kalırız. Bu belirsizlik genelde, karşılaşılan veya karşılaşılacak durumların belirsizliğinden ve temel değişkenin beklenilmeyen değişim kaynağından ortaya çıkar. Belirsizliklerin yarattığı durumlar ve temel değişkenlerin değişimi olasılık modelleriyle tanımlanabilir. Süreçler için olasılık modelleri, rassal biçimde zaman boyunca gelişir. Böyle süreçlere stokastik süreçler adı verilir. Bir anlamda, bir süreç sabit veya tesadüfi zaman aralıklarında rastgele değişebilirse bu süreç stokastik süreçtir. Markov süreci bir stokastik süreç olup gelecekteki olayların bir durumunu içerir. Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarını, geçmiş verilerden değil şu andaki verilerden yararlanarak bulur. Markov zinciri (analizi), bir değişkenin şimdiki davranış tarzından hareketle aynı değişkenin gelecekteki davranış biçimini öngörmek için kullanılan bir analiz yöntemidir. Bu analiz Rus matematikçi Andrei A. Markov tarafından 20. yüzyılın başlarında geliştirilmiştir.  Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi stokastik süreç, Markov süreci ve zinciri hakkında seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarının, geçmiş verilere değil şu andaki verilerden yararlanılarak bulunduğu süreçlerdir. Markov süreçlerinin temel özelliği de belirli bir zaman diliminde çeşitli durumlarda bulunma ve bir durumdan diğer duruma geçiş olasılıklarını göz önüne almasıdır. Bir durumdan diğer duruma geçiş, sistemin daha önceki durumlarına bağlı olmayıp sadece bir önceki durumuna bağlıdır. Dolayısıyla, Markov sürecinde, önceki durum dışında daha önceki durumların bilinmesine gerek yoktur. İşte bu özelliğe Markov özelliği denir. Bir bakıma Markov özellikli bir sistemde, bir durumdan diğer bir duruma geçiş, sadece bir önceki duruma bağlı olan koşullu olasılıklar ile ifade edilir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü Markov özelliği kavramını açıklamaktadır, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Kesikli zaman stokastik sürecin özel türü Markov zinciridir. Kesikli zaman Markov zinciri, stokastik bir süreç olup aşağıda verilen üç kısıtı karşılar.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap D’dir. Zaman kümesi T, sürekli değerler alabiliyorsa {X_t} süreci, sürekli zaman stokastik süreç ve eğer T tamsayı değerle sınırlandırılmış ise {X_t} süreci kesikli zaman stokastik süreç olmaktadır. Markov zinciri, kesikli zaman stokastik sürecin özel bir türü olduğu için “Süreçte zaman kümesi T, sürekli değerler almalıdır.” kısıtını karşılamamaktadır.

Gelecek durumun şimdiki duruma bağlı olma olasılığı zaman içinde değişmez ise durağanlık gösterir ve bu özelliği de Markov zinciri karşılar. Bu tip Markov zincirine durağan Markov zinciri denir, dolayısıyla doğru cevap B’dir. Markov zinciri rasgele işlemlerin bir alt kümesidir. Bu işlemler zamanla değişen ve tahmin edilmesi zor işlemlerdir. Bundan dolayı Markov zinciri deterministik değil, stokastiktir., Rassal değişkenin alabileceği değerlerin tanımladığı uzaya durum uzayı denir. Bu uzay sürekli veya kesikli (tamsayılı) değerlerden oluşabilir. Buna göre {X_t} süreci sürekli-durum stokastik süreç veya kesikli-durum stokastik süreç olarak adlandırılır.

Bir Markov zinciri, tamamen geçiş matrisi ve ilk başlangıç durum vektörünün belirlenmesiyle tanımlanır. Başlangıç S_i durumundaki olayların olasılıkları yani q_i bir başka ifadeyle p(X₀ = i) = q_i dir. Markov zinciri için başlangıç durum (olasılık) vektörü ise Q = [ q₁, q₂, q₃, … , q_n]  olup  (1×n) boyutundadır. S_i durumundan S_j durumuna geçiş olasılıkları (n×n) boyutlu geçiş olasılığı matrisi (P) ile gösterilir. P matrisinin tüm elemanları pozitif değerli ve matrisin her satırında yer alan olasılıkların toplamı bire eşittir. Bu yüzden, bu matrisin her bir satırı olasılık vektörüdür ve geçiş matrisi de stokastik bir matristir. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi geçiş matrisine ilişkin seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Durumların geçiş sayıları sonsuz sayıda arttığında durum başlangıç olasılık dağılım vektörü Q_n = [q₁, q₂, q₃, …, q_n] durağan veya denge durumuna ulaşır. n sonsuza yaklaştığında denge durum olasılıkları toplamı (q₁+q₂+q₃+…+q_n=1) bir olur. Denge durumuna ulaşmak için de Q=Q.P formülünden ve q₁+q₂+q₃+…+q_n=1 koşulundan yararlanılır. Söz konusu formül ve eşitlik koşulundan yararlanarak şirketlerin gelecekteki denge pazar paylarının ne olacağı hesaplanabilir. Denge koşulu, rakiplerden hiçbirisi geçiş olasılığı matrisini değiştirmediğinde gerçekleşir. Bu açıklamalardan anlaşıldığı gibi, durağan (kararlı) durum veya denge durumuna ilişkin seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Son yıllarda Markov zincirinin bir yönetim aracı olarak pazarlama, yatırım, işgücü planlaması, optimal performans politikaların belirlenmesi ve alacak hesaplarının tahsili gibi karar durumlarının geniş farklı alanlarına başarılı şekilde uygulandığını görmekteyiz. Belki de onun en yaygın kullanımı, müşteri davranışlarının marka bağımlılığını ve müşterilerin bir markadan diğerine geçişlerini öngörme ve gözden geçirmedir. Bu açıklamalardan da anlaşıldığı gibi seçeneklerde verilen alanların tümünde karar durumlarında Markov zinciri bir yönetim aracı olarak kullanılabilir, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Yönetim gelecekte ve şimdiki pazar durumu hakkında, daha doğru sonuçlara varmak için tüm rakiplerine olan kazanım ve kayıp oranlarının daha ayrıntılı bilgilere ihtiyaç duyar. Böyle bir bilginin elde edilmesi için yönetim şu çabaları göstermelidir.

Markov zinciri pazar analizi için böyle bir aracı sunar. Bu yönetim aracını kullanarak şu andaki ve gelecekteki pazar durumumuz hakkında daha doğru sonuçlar elde edebiliriz. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi, marka geçişi problemini ele almak ve müşteri davranışlarının marka bağımlılığını ve müşterilerin bir markadan diğerine geçişlerini öngörme ve gözden geçirmek için,  Markov analizi yönetime seçeneklerde yer alan tüm işlevlerde pazar analizi aracı sunar, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Markov zincirini marka geçişi veya pazarlama kararlarında uygulayabilmek için müşteri kazanımlarını, elde tutma ve kayıplarını gösteren bir geçiş olasılığı matrisinin düzenlenmesi gerekir, dolayısıyla doğru cevap E’dir.