YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II

bir süreç sabit veya tesadüfi zaman aralıklarında rastgele değişebilirse bu süreç stokastik süreç olarak tanımlanmaktadır. Doğru cevap B'dir.

Bir stokastik süreç olan Markov süreci; ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarını, şu andaki verilerden yararlanarak bulur. Doğru cevap C'dir.

Kendisi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara yutucu durumlar adı verilir.
Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.
Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.
Durum i’den tekrar geri durum i’ye gelen tüm yolların uzaklığı dönem k’nın en küçük sayısı ile çarpılırsa durum i, k > 1 dönemi ile dönemseldir. Yinelenen durum dönemsel değilse o, dönemsel olmayan durumdur. Doğru cevap E'dir.

Bir zincirde bütün durumlar yinelenen, dönemsel olmayan ve birbiriyle iletişimli ise bu zincir ergodiktir. Doğru cevap D'dir.

Yönetimin bilgi edinmek için göstermesi gereken çabalar genel olarak geleceğe yönelik tahminleri içermektedir. Bu bağlamda; gelecekte sahip olunacak pazar payını tahmin etmek; gelecekteki kendi pazar payını kaybetme ve kazanma oranları ile rakiplerinin pazar paylarını kazanma ve kaybetme oranlarını tahmin etmek; gelecekte elde edilecek veya edilemeyecek bazı pazar denge (sabit veya pazar payı düzeyini) payını tahmin etmek gerekmektedir. Ayrıca yöneticilerin satıcı güdüleme çabalarının, kendi pazar payının kazanılmasında ve kaybedilmesinde gerçek etkisinin ne olduğunu analiz etmesi de gerekmektedir. Doğru cevap A'dır.

Arkadya firmasına bağlı kalma olasılığı 250/300= 0,83 olarak hesaplanmatadır.

Yukarıda yer alan ifadeler şu şekilde düzeltilmelidir. Müşterilerin gelecekteki satın alımları geçmişte yaptıkları seçimleri yansıttığı için şirketler arası müşteri kaymaları rastgele değildir. Birinci derece Markov süreci gelecekteki olayın olasılığı (müşterilerin gelecek ay seçimleri) son olaya (bu ayın müşteri seçimlerine) bağlı olduğu ve daha önceki satın alma davranışlarına bağlı olmama varsayımına dayanır. İkinci derece Markov süreci ise gelecek aydaki müşteri seçimleri son iki geçen ayın müşteri seçimlerine bağlı olduğunu varsayar. Doğru cevap E'dir.

Durumların geçiş sayıları sonsuz sayıda arttığında durum olasılık vektörü Qn kararlı veya durağan (denge) durumuna ulaşılmaktadır. Doğru cevap A'dır.

P² _ij iki adımlı geçiş olasılığı olup bunu hesaplamak için yukarıdaki soruda verilmiş olan formül kullanılmaktadır. Doğru cevap B'dir.

Karar problemlerinde, belirsizliklere dayanan olaylara ilişkin karar alma ile sıkça yüz yüze kalırız. Bu belirsizlik genelde, karşılaşılan veya karşılaşılacak durumların belirsizliğinden ve temel değişkenin beklenilmeyen değişim kaynağından ortaya çıkar. Belirsizliklerin yarattığı durumlar ve temel değişkenlerin değişimi olasılık modelleriyle tanımlanabilir. Süreçler için olasılık modelleri, rassal biçimde zaman boyunca gelişir. Böyle süreçlere stokastik süreçler adı verilir. Zaman içinde önceden kestirilemeyecek şekilde gelişen süreçlere stokastik süreçler denir. Bir anlamda, bir süreç sabit veya tesadüfi zaman aralıklarında rastgele değişebilirse bu süreç stokastik süreçtir. Markov süreci bir stokastik süreç olup gelecekteki olayların bir durumunu içerir. Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarını, geçmiş verilerden değil şu andaki verilerden yararlanarak bulur. Markov zinciri (analizi), bir değişkenin şimdiki davranış tarzından hareketle aynı değişkenin gelecekteki davranış biçimini öngörmek için kullanılan bir analiz yöntemidir. Bu analiz Rus matematikçi Andrei A. Markov tarafından 20. yüzyılın başlarında geliştirilmiştir. Andrei A. Markov, 1878 yılında Saint Petersburg Üniversitesi’nden mezun olmuş ve daha sonra aynı üniversitede profesör olmuştur. Serilerin yakınsaklığı, yaklaşım teorisi, integrallerin limitleri gibi teorik birçok çalışma yapmasına karşın Markov, özellikle Markov Zincirleri çalışması ile hatırlanır. Markov zincirleri mevcut değişken tarafından belirlenen gelecekte, bu değişkenin rassal değişkenler dizisidir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov zincirine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Zaman içinde önceden kestirilemeyecek şekilde gelişen süreçlere stokastik süreçler denir. Bir stokastik süreç {X_t , t Є T} zaman indeksli bir rassal değişkenler dizisidir. Eğer T: {t │ t ≥ 0} ise stokastik sürece “sürekli stokastik süreç” ; eğer T: {0, 1, 2, 3, 4, …} tam sayılar kümesi ise sürece “kesikli zaman stokastik süreç” denir. Burada zaman kümesi T, sürekli değerler alabiliyorsa {X_t} süreci, sürekli zaman stokastik süreç ve eğer T tamsayı değerle sınırlandırılmış ise {X_t} süreci kesikli zaman stokastik süreç olmaktadır.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Stokastik süreçlere ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Markov süreçleri ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıklarının, geçmiş verilere değil şu andaki verilerden yararlanılarak bulunduğu süreçlerdir. Markov süreçlerinin temel özelliği de belirli bir zaman diliminde çeşitli durumlarda bulunmanın ve bir durumdan diğer duruma geçiş olasılıklarını göz önüne alınmasıdır. Bir durumdan diğer duruma geçiş, sistemin daha önceki durumlarına bağlı olmayıp sadece bir önceki durumuna bağlıdır. Dolayısıyla, Markov sürecinde, önceki durum dışında daha önceki durumların bilinmesine gerek yoktur. İşte bu özelliğe Markov özelliği denir. Bir bakıma Markov özellikli bir sistemde, bir durumdan diğer bir duruma geçiş, sadece bir önceki duruma bağlı olan koşullu olasılıklar ile ifade edilir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov süreçlerine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Bir Markov zinciri, tamamen geçiş matrisi ve ilk başlangıç durum vektörünün belirlenmesiyle tanımlanır. Başlangıç S_i durumundaki olayların olasılıkları yani q_i bir başka ifadeyle p(X₀ = i) = q_i dir. Markov zinciri için başlangıç durum (olasılık) vektörü ise Q = [ q₁, q₂, q₃, … , q_n]  olup  (1×n) boyutundadır. S_i durumundan S_j durumuna geçiş olasılıkları (n×n) boyutlu geçiş olasılığı matrisi (P) ile gösterilir. P matrisinin tüm elemanları pozitif değerli ve matrisin her satırında yer alan olasılıkların toplamı bire eşittir. Bu yüzden, bu matrisin her bir satırı olasılık vektörüdür ve geçiş matrisi de stokastik bir matristir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Geçiş matrisine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Markov zincirinde geçişlerin ve yapısının analizi için Markov zincirindeki durumların farklı türleri arasında ayırımın ve tanımlarının yapılması gerekir.

Tanım: i ve j gibi iki durum verildiğinde, i’den j’ye olan yol i durumundan başlayan ve j durumunda sona eren geçişlerin bir dizisidir. Dizideki her bir geçişin olma olasılığı pozitiftir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye giden bir yol var ise j durumu ulaşılabilir durumdur.

Tanım: Durum i’den j durumuna ve de durum j’den i durumuna ulaşılabilirse bu iki i ve j durumu iletişimlidir.

Tanım: Kümedeki herhangi bir durumdan küme dışında bir duruma ulaşılamaz ise Markov zincirinin bu durumlar kümesine kapalı küme denir.

Tanım: Kendisi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani p_ij = 1 , p_ij = 0 , j ≠ i) yutucu durumlar adı verilir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.

Tanım: Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.

Tanım: Durum i’den tekrar geri durum i’ye gelen tüm yolların uzaklığı dönem k’nın en küçük sayısı ile çarpılırsa durum i,    k > 1  dönemi ile dönemseldir. Yinelenen durum dönemsel değilse o, dönemsel olmayan durumdur.

Tanım: Bir zincirde bütün durumlar yinelenen, dönemsel olmayan ve birbiriyle iletişimli ise bu zincir ergodiktir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov zincirindeki durumların tanımlarına ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Markov zincirinde geçişlerin ve yapısının analizi için Markov zincirindeki durumların farklı türleri arasında ayırımın ve tanımlarının yapılması gerekir.

Tanım: i ve j gibi iki durum verildiğinde, i’den j’ye olan yol i durumundan başlayan ve j durumunda sona eren geçişlerin bir dizisidir. Dizideki her bir geçişin olma olasılığı pozitiftir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye giden bir yol var ise j durumu ulaşılabilir durumdur.

Tanım: Durum i’den j durumuna ve de durum j’den i durumuna ulaşılabilirse bu iki i ve j durumu iletişimlidir.

Tanım: Kümedeki herhangi bir durumdan küme dışında bir duruma ulaşılamaz ise Markov zincirinin bu durumlar kümesine kapalı küme denir.

Tanım: Kendisi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani p_ij = 1 , p_ij = 0 , j ≠ i) yutucu durumlar adı verilir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.

Tanım: Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.

Tanım: Durum i’den tekrar geri durum i’ye gelen tüm yolların uzaklığı dönem k’nın en küçük sayısı ile çarpılırsa durum i,    k > 1  dönemi ile dönemseldir. Yinelenen durum dönemsel değilse o, dönemsel olmayan durumdur.

Tanım: Bir zincirde bütün durumlar yinelenen, dönemsel olmayan ve birbiriyle iletişimli ise bu zincir ergodiktir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov zincirindeki durumların tanımlarına ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Durumların geçiş sayıları sonsuz sayıda arttığında durum olasılık vektörü Q_n kararlı veya durağan (denge) durumuna ulaşılır. Q_n = [ q₁, q₂, q₃, …, q_n ] kararlı veya denge durum vektörüdür. n sonsuza yaklaştığında denge durum olasılıkları  q₁ + q₂ + q₃ + … + q_n = 1 olur. Denge durumuna ulaşmak için   Q = Q.P  formülünden  ve   q₁ + q₂ + q₃ + … + q_n = 1 koşulundan yararlanılır.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Denge durumu analizine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Son yıllarda Markov zincirinin bir yönetim aracı olarak pazarlama, yatırım, işgücü planlaması, optimal performans politikaların belirlenmesi ve alacak hesaplarının tahsili gibi karar durumlarının geniş farklı alanlarına başarılı şekilde uygulandığını görmekteyiz, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Son yıllarda Markov zincirinin bir yönetim aracı olarak pazarlama, yatırım, işgücü planlaması, optimal performans politikaların belirlenmesi ve alacak hesaplarının tahsili gibi karar durumlarının geniş farklı alanlarına başarılı şekilde uygulandığını görmekteyiz. Belki de onun en yaygın kullanımı, müşteri davranışlarının marka bağımlılığını ve müşterilerin bir markadan diğerine geçişlerini öngörme ve gözden geçirmedir. Yönetim gelecekte ve şimdiki pazar durumu hakkında, daha doğru sonuçlara varmak için tüm rakiplerine olan kazanım ve kayıp oranlarının daha ayrıntılı bilgilere ihtiyaç duyar. Böyle bir bilginin elde edilmesi için yönetim şu çabaları göstermelidir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov zinciri pazar analizi için böyle bir aracı sunar. Bu yönetim aracını kullanarak şu andaki ve gelecekteki pazar durumumuz hakkında daha doğru sonuçlar elde edebiliriz.

Markov zincirinin marka geçişi veya pazarlama kararlarında uygulayabilmek için müşteri kazanımlarını, elde tutma ve kayıplarını gösteren bir geçiş olasılığı matrisinin düzenlenmesi gerekir.

Geçiş olasılıkları matrisi iki şekilde ifade edilebilir. Satırlar toplamı 1 olan matrisin satırında kendisine bağlı müşterilerin olasılığı ile diğer şirketlere kaybettiği müşterilerin olasılığını, matrisin sütunları ise kendisine bağlı ve diğer şirketlerden gelen (kazandığı) müşterilerin olasılığını yani yüzdesini gösterir.

Sütunlar toplamı 1 olan geçiş olasılıkları matrisinin satırları kendine bağlı kalan müşteriler ile diğer şirketlerden gelen (kazandığı) müşteri olasılıklarını, sütunları ise kendine bağlı olan müşterilerin olasılığı ile diğer şirketlere kaybettiği müşterilerin olasılığını gösterir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Geçiş olasılığı matrisine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Markov zincirinde kendi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani p_ii = 1, p_ij =0   j≠1 ise) yutucu durumlar adı verilir, dolayısıyla doğru cevap A’dır. Seçeneklerde yer alan diğer durumların tanımları şöyle ifade edilebilir:

Tanım: Durum i’den durum j’ye giden bir yol var ise j durumu ulaşılabilir durumdur.

Tanım: Durum i’den j durumuna ve de durum j’den i durumuna ulaşılabilirse bu iki i ve j durumu iletişimlidir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.

Tanım: Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.